Читати книгу - "Відкрите суспільство та його вороги"
Шрифт:
Інтервал:
Добавити в закладку:
Мал. 1. Платонів елементарний квадрат, побудований з чотирьох субелементарних рівнобедрених прямокутних трикутників
Мал. 2. Платонів елементарний рівносторонній трикутник, побудований з шести субелементарних нерівнобедрених трикутників
Мал. 3. Прямокутник ABCD, площа якого перевищує площу кола менше, ніж на півтори тисячні
(4) Додатковим доказом на користь нашої інтерпретації, хоча я й не знайшов у Платонових текстах хоч якихось свідоцтв, що підтверджували його, можуть послужити викладені далі міркування. Цікаво, що сума √2+√3 дуже близька до значення числа π. (Див. Е. Borel. Span and Time, 1926, 1960, p. 216; мою увагу до цього факту, щоправда в іншому контексті, привернув В. Марінеллі.) Неточність тут складає лише 0,0047, тобто менше ніж півтори тисячних від значення числа π. Навряд у той час було відоме точніше значення числа π. Одне з пояснень цього цікавого факту може полягати в тому, що середнє арифметичне площ окресленого шестикутника та вписаного восьмикутника є добрим наближенням до площі кола. Тепер стає зрозумілим, що, з одного боку, Брайсон досліджував властивості окреслених та вписаних багатокутників (див. T.Heath, op. cit., p. 224), а, з другого боку, що Платон цікавився додаванням ірраціональних величин, а отже, повинен був спробувати здобути суму √2+√3. Отже, є два способи, за допомогою яких Платон міг би здобути приблизну рівність √2+√3≈π, і другий з цих способів був настільки очевидним, що Платон, певно, не міг не помітити його. Цілком вірогідно, що Платон знав цю рівність, але не міг довести, чи є вона вираженням точної рівності, чи лише наближенням.
Але якщо це й справді так, тоді ми, певно, можемо відповісти на «друге питання», згадане у пункті (3), а саме, питання, чому Платон побудував свій елементарний квадрат із чотирьох субелементарних трикутників (півквадратів), а не з двох, і елементарний рівнобедреник з шести субелементарних трикутників (піврівнобедреників), а не з двох. Якщо поглянути на перший з двох наведених вище малюнків, то ми побачимо, що ці побудови наголошують на центрі окреслених та вписаних кіл, і в обох випадках, на радіусах окресленого кола. (У випадку з рівнобедреником на малюнку є також радіус вписаного кола, але очевидно, що Платон мав на увазі окреслене коло, оскільки він називав радіус «діагоналлю», коли описував метод побудови рівнобедреника; див. «Тімей», 54 d-e та 54 b.)
Якщо ми тепер візьмемо ці два окреслені кола, або точніше, впишемо елементарні квадрат та рівнобедреник у коло з радіусом r, то виявимо, що сума сторін цих двох фігур наближається до rπ. Інакше кажучи, Платонова побудова пропонує одне з найпростіших розв'язань проблеми квадратури кола, що й доводять три наші малюнки. У світлі сказаного можна припустити, що Платонова гіпотеза, а також його готовність «визнати переможцем» того, хто зможе довести його правоту, про що ми говорили у пункті (3), зачіпають не лише загальну проблему спільномірності ірраціональних величин, але також і специфічні проблеми того, чи відповідає сума √2+√3 площі одиничного кола.
Я повинен ще раз наголосити, що мені невідомий жоден прямий доказ того, наче Платон мав на увазі саме це. Але, якщо зважити на непрямі свідоцтва, наведені мною тут, то моя гіпотеза не видасться абсолютно безпідставною. Я не думаю, що вона менш обгрунтована, ніж гіпотеза, висунута Корнфордом, і якщо вона справедлива, то ми здобуваємо переконливіше пояснення відповідних уривків.
(5) Якщо у нашому твердженні, висунутому в пункті (2)
Увага!
Сайт зберігає кукі вашого браузера. Ви зможете в будь-який момент зробити закладку та продовжити читання книги «Відкрите суспільство та його вороги», після закриття браузера.