Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Нескладно вивести аналітичну формулу, що дає нам максимальне значення φ для будь-якого значення показника заломлення n. Щоб знайти максимум φ, зауважмо той факт, що цей максимум відповідає такому куту падіння i, за якого графік φ залежно від i горизонтальний, тож зміна δφ (дельта фі) кута φ, породжена мізерно малою зміною δi кута i, зникає до першого порядку δi. Щоб використати цю умову, ми застосуємо стандартну формулу диференціального числення, згідно з якою в разі зміни δx аргументу x, зміна arcsinx дорівнює:

де R = 360°/2π, якщо arcsinx вимірюють у градусах. Отже, коли кут падіння змінюється на величину δi, то кут заломлення змінюється на таку величину:

або, оскільки δ sini = cosi δi/R,

Отже, умова для максимуму φ така, що:

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата та використовуючи формулу cos2i = 1 − sin2i (що випливає з теореми Піфагора), можемо знайти значення sini:

За такого значення кута падіння φ набуває свого максимального значення:

За n = 4/3 максимальне значення φ досягають за b/R = sini = 0,86, для якого i = 59,4°, r = 40,2°, а φmax = 42,0°.

30. Виведення закону заломлення світла із хвильової теорії світла

Закон заломлення світла, який, як описано в технічній примітці 28, можна вивести з припущення, що відбиті промені світла йдуть шляхом найменшого часу, можна також вивести на основі хвильової теорії світла. За словами Гюйґенса, світло є збуренням у середовищі, яким може бути якийсь прозорий матеріал або простір, що є очевидно порожнім. Фронтом цього збурення є лінія, що рухається вперед у напрямку, перпендикулярному цьому фронту, зі швидкістю, характерною для цього середовища.

Рис. 23. Заломлення світлової хвилі. Горизонтальна лінія знову позначає поверхню поділу між двома прозорими середовищами, у яких світло має різні швидкості. Лінії з поперечними рисками показують сегмент фронту хвилі у два різні моменти часу – коли передній край та коли задній край фронту хвилі торкаються поверхні поділу. Суцільні лінії зі стрілками показують шляхи, якими рухаються передній та задній краї фронту хвилі.

Розгляньмо сегмент фронту такого збурення, який має довжину L, у середовищі 1, що рухається в бік поверхні поділу із середовищем 2. Припустімо, що напрямок руху збурення, розташований під прямими кутами до цього фронту, утворює кут i з перпендикуляром до цієї поверхні поділу. Коли передній край фронту досягає поверхні поділу в точці A, задній край B усе ще залишається на відстані (уздовж напрямку руху збурення), що дорівнює L tgi (див. рис. 23). Отже, час, потрібний, щоб задній край фронту досяг поверхні поділу в точці D, дорівнює L tgi/v1, де v1 – швидкість руху збурення в середовищі 1. Упродовж цього часу передній край фронту переміщуватиметься в середовищі 2 під кутом r до перпендикуляра, досягаючи точки C, розташованої на відстані v2 L tgi/v1 від точки A, де v2 – швидкість руху збурення в середовищі 2. У цей час фронт хвилі, розташований під прямим кутом до напрямку руху в середовищі 2, розтягується від C до D так, що трикутник з вершинами A, C і D є прямокутним із кутом 90° при вершині C. Відстань v2 L tgi/v1 від A до C – це катет, протилежний куту r у цьому прямокутному трикутнику, а гіпотенуза – це відрізок від A до D, що має довжину L/cosi (див. рис. 23). Отже,

Згадавши, що tgi = sini/cosi, ми побачимо, що множники cosi та L можна скоротити, тож залишається:

sinr = v2 sini/v1

або інакше виражене:

що є правильним законом заломлення світла.

Хвильова теорія світла, яку розробив Гюйґенс, невипадково дає ті самі результати щодо заломлення, що й принцип найменшого часу Ферма. Можна показати, що навіть для хвиль, які проходять крізь однорідне середовище, у якому швидкість світла змінюється поступово в різних напрямках, а не раптово біля площини поверхні поділу, хвильова теорія Гюйґенса завжди даватиме шлях світла, що потребує найкоротшого часу для переміщення між будь-якими двома точками.

31. Вимірювання швидкості світла

Припустімо, ми спостерігаємо якийсь періодичний процес, що відбувається на деякій відстані від нас. Для визначеності ми розглядатимемо якийсь супутник, що обертається навколо далекої планети, але представлений нижче аналіз згодився б для будь-якого періодично повторюваного процесу. Припустімо, що цей супутник досягає певного положення на своїй орбіті у два послідовні моменти часу t1 і t2; наприклад, це могли б бути моменти часу, коли супутник поступово з’являється з-за планети. Якщо орбітальний період цього супутника дорівнює T, тоді t2 − t1 = T. Це період, який ми спостерігаємо за умови, що відстань між нами та планетою фіксована. Але якщо ця відстань змінюється, то період, який ми спостерігаємо, зсуватиметься від T на величину, що залежить від швидкості світла.

Припустімо, що відстані між нами та планетою у два послідовні моменти часу, коли супутник перебуває в однаковому положенні на своїй орбіті, дорівнюють d1 та d2. Тоді ми спостерігаємо ці положення на орбіті в такі моменти часу:

t´1 = t1 + d1/c t´2 = t2 + d2/c,

де c – швидкість світла (ми тут припускаємо, що відстанню між планетою та її супутником можна знехтувати). Якщо відстань між нами та цією планетою змінюється зі швидкістю v незалежно від того, чи рухається планета, чи ми, чи ми разом із планетою, тоді d2 − d1 = vT, а тому спостережуваний період дорівнює:

(Це виведення залежить від припущення, що v має змінюватися дуже мало за час T, що загалом так і